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標題:
高中數學 因倍數
發問:
(1)設n為整數,試求n的平方除以3的餘數可能為? (2)所有整數的平方除以4後所得餘數可能為何? (3)所有整數的平方除以8後所得餘數可能為何? (4)求123456*789除以11的餘數 (5)求4444*5555+6666除以9的餘數 (6)設n=504求正因數中,為完全平方數有幾個? 所有正因數的倒數總和? (7)設n=1800則n之正因數中12的倍數有幾個? n之正因數中為完全平方數有幾個? (8)設a,b屬於自然數,a>b,a+b=1092, a,b的最小公倍數為3528,求a,b的值? ( 更新: 兩自然數a和b,其和為196,(a b)=14,設a平方+b平方最小值為14的平方(p.10平方+q.10+r),其中p,q,r是0到9的阿拉伯數字,則p= q= r=
最佳解答:
(1)假如n本身就是3的倍數，那它平方之後還是3的倍數，餘數是0。像6、-9等等，平方後變36、81，照樣還是被三整除。 假如n本身就不是3的倍數(及除以三餘1、2者)，則它平方之後除以3餘數必為1。像2除以3餘2，而2的平方4則是餘1；-7除以3餘1，而平方後為49除以3也餘1。 這可以根據餘數定理知道，本來除以三餘1的數，平方可看成兩個相同的數相乘(用餘數去乘喔)，固結果不是1就是4，但4超過3，所以再除以3，則也餘1。 →故平方餘數是0或1。 (2)整數的平方必為正整數，隨便就1、2、3、4(餘1，餘2，餘3，整除)的平方1、4、9、16來看，除以4餘數是1、0、1、0 →所以餘數一樣是0或1。你再找其他數字還是一樣。 (3)這就比較多了，就1、2、3、4、5、6、7、8以及餘數定理的判斷 →平方後其除以8的餘數必為0、1、4。你可以多找數字來試試看。 (4)123456除以11餘3，789除以11餘8 →則相乘後除以11餘2(根據餘數定理將兩餘數相乘為24，除以11得到餘2) (5)做法類似，4444除以9餘7，5555除以9餘2，6666餘6 →故由餘數定理其餘數可互相加或相乘的特性，可知7*2+6=20，20除以9餘2 →故餘數為2。 (6)完全平方數個數： 504=2^3*3^2*7(^是平方，*是乘)，是完方全平方數者為2^0、2*3^0、2*7^0 →共有2*2*1=4個 補充：公式算法是([a/2]+1) ([b/2]+1) ([c/2]+1)，a b c是次方，[ ]是高斯記號，有這個記號就是不管誰跟誰相除，其值必取除後的商(餘數忽略)，像[3/2]=1 倒數和：504=1*504=2*252=3*168=4*126=6*84=7*72=8*63=9*56=12*42=14*36=18*28= 21*24 故其所求為 →1/1+1/2+1/3+1/4+1/6+1/7+1/8+1/9+1/12+1/14+1/18+1/21+1/24+1/28+1/36+1/42 +1/56+1/63+1/72+1/84+1/126+1/168+1/252+1/504=1560/504=65/21 (7) 1800=2^3*3^2*5^2，12=2^2*3，故只要其因式分解含2^2*3的都是12的倍數，共有12個，其倍數為12，24，36，60，72，120，180，300，360，600，900，1800(1800本身就可被12整除，12自己是自己的因數也是自己的倍數) (8)用假設法假設a=dh，b=dk，d是a、b的最大公因數，h、k為正整數，且彼此互質。 則可將a+b=1092寫成d(h+k)= 1092，[a,b]= 3528寫成dhk= 3528(記得用求最大公因數的求法) 再者解聯立解，因為h、k為正整數且彼此互質，因此(h+k, hk)=1，所以d=(1092,3528)=84 再代回這兩式，求出h+k=13，hk=42，故得知h=7，k=6(因為題目要求a>b) →a=588，b=672 最後一題： 既然(a,b)=14，那麼若設a=dh，b=dk，d是a、b的最大公因數，h、k為正整數，且彼此互質。那麼h+k=14，則當h= k或其差接近的時候值最小，就此題而言， h= k=7的時候，a^2+b^2最小，值為19208 故19208=196*98，98=0*10^2+9*10+8 →得p=0，q=9，r=8 就是這樣，若還有不懂的地方可以再提出來，不過還是建議你不要一口氣問太多問題，這樣應該會有更多人願意為你解答的。 2006-09-17 11:42:09 補充： 抱歉第八題key反了應修正為a=672，b=588 2006-09-17 13:31:00 補充： 補充2：14的平方就是196，請務必要知道 2006-09-17 14:38:19 補充： 補充3：所謂最大公因數的求法就是短除法啦！d│dh...........dk....──────........h...........k畫圖不夠好，請見諒！ 2006-09-17 17:52:14 補充： ㄟ~已經解決囉！沒關係，那我用這個來補充我的回答~ (7) 的第二個小問題n之正因數中為完全平方數有幾個?就用(6)的求法去求，答案是2*2*2=8 抱歉遺漏掉了，我不是故意的 因為這個跟上一題的第一個小問題有異曲同工之妙。
其他解答:
第6.7提建議先做質因數分解 再把平方數挑出來 做配對 像第7題 1800=2^3*3^2*5^2 把1^2 2^2 3^2 5^2 挑出來 配對組合有 1^2， 2^2， 3^2， 5^2， 2^2*3^2， 2^2*5^2， 3^2*5^2， 2^2*3^2*5^2 這樣 8組解就出來了 而且這樣會比較保險 像有些題目 2^4 可以等於 (2^2)^2 = 4^2 也是一種完全平方數 這都要背起來
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