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標題:

某自然數小於1000,且若被3,5,7,8分別除,其餘數分別

發問:

某自然數小於1000,且若被3,5,7,8分別除,其餘數分別1,3,4,5,則此數為?

最佳解答:

有公式的 (先決條件 : 所有除數互質) : P3 = 5*7*8 = 280 P5 = 3*7*8 = 168 P7 = 3*5*8 = 120 P8 = 3*5*7 = 105 M3*P3 mod 3 ≡ 1 ==> M3*280 mod 3 ≡ 1 ==> M3 = 1 M5*P5 mod 5 ≡ 1 ==> M5*168 mod 5 ≡ 1 ==> M5 = 2 M7*P7 mod 7 ≡ 1 ==> M7*120 mod 7 ≡ 1 ==> M7 = 1 M8*P8 mod 8 ≡ 1 ==> M8*105 mod 8 ≡ 1 ==> M8 = 1 R3 = 1, R5 = 3, R7 = 4, R8 = 5 (題目給的餘數) 答案是 : (P3*M3*R3 + P5*M5*R5 + P7*M7*R7 + P8*M8*R8) mod (3*5*7*8) ≡ (280*1*1 + 168*2*3 + 120*1*4 + 105*1*5) mod 840 ≡ 2293 mod 840 ≡ 613

其他解答:

被3,5除餘數分別1,3 即不足2 通式15t-2 被7,8除餘數分別4,5 即不足3 通式56s-3 15t-2=56s-3 15t=56s-1 s,t要整數 s=1,6,11,16...... s=11合 56s-3=613 此自然數=613+840p p是自然數或0 此自然數要小於1000 613即為所求|||||令某自然數=A=3p+1=5q+3=7r+4=8s+5 且p.q.r.s皆為非負的整數由3p+1=5q+3 所以p=q+[(2q+2)/3] 取q=2 , 則符合A=3p+1=5q+3的通式為A=15t+13,其中t為非負的整數同理15t+13=7r+4 所以r=(2t+1)+[(t+2)/7] 取t=5 則符合A=15t+13=7r+4的通式為A=105u+88,其中u為非負的整數同理105u+88=8s+5 所以s=(13u+10)+[(u+3)/8] 取u=5 則A=840v+613 其中v為非負的整數又A小於1000所以613即為所求|||||請再CHECK一下題目有沒有打錯？

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